ΜΑΓΙΚΑ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Χάρης Βώλος, Δεκ 2004
Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας διδιάστατος πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους
φυσικούς αριθμούς 0..n2-1 και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των
στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.
Α) Μαγικά τετράγωνα
με περιττό n
Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η
κατασκευή ενός μαγικού τετραγώνου με n=5. Η κόκκινη γραμμή δείχνει την σειρά εισαγωγής των αριθμών, ξεκινώντας
από το στοιχείο 0, το οποίο τοποθετείται στη μεσαία γραμμή της τελευταίας
στήλης. Ο απλός αλγόριθμος κατασκευής του μαγικού τετραγώνου παρουσιάζεται στον
ψευδοκώδικα που ακολουθεί μετά στο σχήμα.
i ← n div
2; j ← n; k ← 0;
for h ← 1 to n
do j ← j-1;
a[i,j] ← k;
k ←
k+1;
for m ← 2 to
n
do j ← (j+1) mod n;
i ← (i+1) mod n;
a[i,j] ← k;
k
← k+1;
B) Μαγικά τετράγωνα με n πολλαπλάσιο του 4
Η κατασκευή τέτοιων μαγικών
τετραγώνων είναι αρκετά απλή και γίνεται σε δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση
εισάγουμε στις οριζόντιες γραμμές κατά αύξουσα σειρά τους αριθμούς από το 0..n2-1.
Στη δεύτερη φάση χωρίζουμε το μαγικό τετράγωνο σε τετράγωνα διαστάσεων 4 x 4, και κάθε αριθμό, ο
οποίος βρίσκεται σε κύρια διαγώνιο του τετραγώνου 4 x 4, τον αφαιρούμε από τον αριθμό n2-1. Ακολουθεί
σχήμα που δείχνει τις διαγώνιους που αναφερόμαστε, καθώς επίσης κι ένα
παράδειγμα ενός μαγικού τετραγώνου 4 x 4.
Γ) Τορομαγικά τετράγωνα με μήκος πλευράς περιττό και μη
πολλαπλάσιο του 3
Η μέθοδος κατασκευής τορομαγικών τετραγώνων με μήκος πλευράς περιττό και μη
πολλαπλάσιο του 3 είναι παρόμοια με την μέθοδο κατασκευής μαγικών τετραγώνων
περιττού μήκους, με τη διαφορά ότι η μετακίνηση από στοιχείο σε στοιχείο
γίνεται 1 κάτω και 2 δεξιά, αντίς 1 κάτω και 1 δεξιά.
Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η κατασκευή ενός μαγικού τετραγώνου με n=5. Η κόκκινη γραμμή δείχνει
την σειρά εισαγωγής των αριθμών, ξεκινώντας από το στοιχείο 0, το οποίο
τοποθετείται στη μεσαία γραμμή της τελευταίας στήλης. (σημ. η κόκκινη γραμμή
δεν δείχνει όλη την κατασκευή, αλλά ένα κομμάτι)
Αναφορές
1) Ε. Ζάχος, Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (παρ. 7.6.2, σελ. 93-94)
2) Mathworld, Magic Square (http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html)