ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Χάρης Βώλος, Δεκ 2004

 

Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας διδιάστατος πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς 0..n2-1 και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.

 

Α) Μαγικά τετράγωνα με περιττό n

Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η κατασκευή ενός μαγικού τετραγώνου με n=5. Η κόκκινη γραμμή δείχνει την σειρά εισαγωγής των αριθμών, ξεκινώντας από το στοιχείο 0, το οποίο τοποθετείται στη μεσαία γραμμή της τελευταίας στήλης. Ο απλός αλγόριθμος κατασκευής του μαγικού τετραγώνου παρουσιάζεται στον ψευδοκώδικα που ακολουθεί μετά στο σχήμα.

 

 

i ← n div 2; j ← n; k ← 0;

for h ← 1 to n

do   j ← j-1;

          a[i,j] ← k;

          k ← k+1;

          for m ← 2 to n

              do   j ← (j+1) mod n;

                   i ← (i+1) mod n;

                    a[i,j] ← k;

                   k ← k+1;

 

B) Μαγικά τετράγωνα με n πολλαπλάσιο του 4

Η κατασκευή τέτοιων μαγικών τετραγώνων είναι αρκετά απλή και γίνεται σε δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση εισάγουμε στις οριζόντιες γραμμές κατά αύξουσα σειρά τους αριθμούς από το 0..n2-1. Στη δεύτερη φάση χωρίζουμε το μαγικό τετράγωνο σε τετράγωνα διαστάσεων 4 x 4, και κάθε αριθμό, ο οποίος βρίσκεται σε κύρια διαγώνιο του τετραγώνου 4 x 4, τον αφαιρούμε από τον αριθμό n2-1. Ακολουθεί σχήμα που δείχνει τις διαγώνιους που αναφερόμαστε, καθώς επίσης κι ένα παράδειγμα ενός μαγικού τετραγώνου 4 x 4.


 

Γ) Τορομαγικά τετράγωνα με μήκος πλευράς περιττό και μη πολλαπλάσιο του 3

Η μέθοδος κατασκευής τορομαγικών τετραγώνων με μήκος πλευράς περιττό και μη πολλαπλάσιο του 3 είναι παρόμοια με την μέθοδο κατασκευής μαγικών τετραγώνων περιττού μήκους, με τη διαφορά ότι η μετακίνηση από στοιχείο σε στοιχείο γίνεται 1 κάτω και 2 δεξιά, αντίς 1 κάτω και 1 δεξιά. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η κατασκευή ενός μαγικού τετραγώνου με n=5. Η κόκκινη γραμμή δείχνει την σειρά εισαγωγής των αριθμών, ξεκινώντας από το στοιχείο 0, το οποίο τοποθετείται στη μεσαία γραμμή της τελευταίας στήλης. (σημ. η κόκκινη γραμμή δεν δείχνει όλη την κατασκευή, αλλά ένα κομμάτι)

 

 

Αναφορές

1)      Ε. Ζάχος, Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (παρ. 7.6.2, σελ. 93-94)

2)      Mathworld, Magic Square (http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html)